[2016년 운정고]

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[2학년 1학기 기말 확률과 통계]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포가 다음 표와 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)]	[eqn: 1over5]	[eqn: a]	[eqn: 3over10]	[eqn: 2b]	[eqn: 1]

[eqn: {RMP}( |X-1 |le1)= 5over6]일 때, [eqn: a overb]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3.2점]

⑤

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[eqn: RMA]고등학교 학생들의 수면 시간은 평균이 [eqn: m]시간, 표준편차가 [eqn: 0.5]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교에 재학 중인 학생 [eqn: 25]명을 임의로 선택하여 수면 시간을 조사하였더니 평균이 [eqn: 6]시간이었다. [eqn: RMA]고등학교 학생들의 평균 수면 시간에 대하여 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {RMP}(0 le Z le 2.58)=0.495]로 계산한다.) [3.2점]

③

① [eqn: 5.484le m le 6.516]	② [eqn: 5.505 le m le 6.495]

③ [eqn: 5.742le m le 6.258]	④ [eqn: 5.804 le m le 6.196]

⑤ [eqn: 5.871 le m le 6.129]

빨간 공 [eqn: 4]개와 파란 공 [eqn: 3]개가 들어 있는 주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 꺼낼 때, 나오는 빨간 공의 개수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {RMP}(X ge1)]의 값은? [3.4점]

⑤

① [eqn: 12over35]	② [eqn: 13over35]	③ [eqn: 22over35]

④ [eqn: 31over35]	⑤ [eqn: 34over35]

두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: {RMN}(5,```1^2 )], [eqn: {RMN}(6,```2^2 )]을 따른다고 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.4점]

⑤

ㄱ. [eqn: {RMP}(5 le X le 6)={RMP}(4 le Y le6)]

ㄴ. [eqn: {RMP}(X ge4) ={RMP}(Y le8)]

ㄷ. [eqn: {RMP}(X ge6)+{RMP}(Y le8)=1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

연속확률변수 [eqn: X]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 1 le X le 5]이고, 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서 대칭을 이룬다.
[eqn: 5{RMP}(3 le X le 5)=3{RMP}(2 le X le 4)]일 때, [eqn: {RMP}(4 le X le 5)]의 값은? [3.5점]

①

① [eqn: 1over12]	② [eqn: 1over10]	③ [eqn: 1over8]

④ [eqn: 1over6]	⑤ [eqn: 1over4]

세 사건 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에 대하여 두 사건 [eqn: A], [eqn: B]는 서로 배반 사건이고, 두 사건 [eqn: A], [eqn: C]는 서로 독립일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: {RMP}(A)>0], [eqn: {RMP}(B)>0], [eqn: {RMP}(C)>0]) [3.5점]

⑤

ㄱ. [eqn: 0<{RMP}(A)+{RMP}(B) le1]

ㄴ. [eqn: {RMP}(A smallinterC^c )={RMP}(A)-{RMP}(A){RMP}(C)]

ㄷ. [eqn: {RMP}(B)= 1over2]이고, [eqn: {RMP}(A^c `|`C)= 2over3]이면,

[eqn: {RMP}(B`|`A^c ) = 3over4]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

모평균이 [eqn: 10], 모표준편차가 [eqn: 4]인 정규분포를 따르는 모집단에서 표본의 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 [eqn: barX]라 하고, 같은 모집단에서 표본의 크기가 [eqn: n]인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 [eqn: barY]라 하자. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.5점]

④

ㄱ. [eqn: {RME}(barX )={RME}(barY )]

ㄴ. [eqn: {RMV}(barX )=4 sigma(barY )]이면 [eqn: n=16]이다.

ㄷ. [eqn: {RMP}(6 le barX le 12)<{RMP}(8 le barY le14)]이면 [eqn: n<4]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 공장에서 생산하는 제품 중 해외로 수출하는 제품의 비율이 [eqn: 2over3]라고 한다. 이 공장에서 생산되는 제품 중 [eqn: 50]개를 임의추출하였을 때, 수출품이 [eqn: 30]개 이상 [eqn: 40]개 이하일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3.6점]

①

[eqn: z]	[eqn: {rmP}( 0 le Z le z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.8185]	② [eqn: 0.8351]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9270]	⑤ [eqn: 0.9710]

정규분포 [eqn: rm N it (m,``` sigma ^{2} )]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수
[eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(50-x)=f(50+x)]를 만족한다.
[eqn: rm P it (|X-m| LEQ 8)=0.96]일 때, [eqn: {RMP}(44le X le 54)]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: sigma>0]) [3.7점]

③

[eqn: z]	[eqn: {rmP}( 0 le Z le z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

① [eqn: 0.53]	② [eqn: 0.62]	③ [eqn: 0.77]

④ [eqn: 0.82]	⑤ [eqn: 0.91]

서로 다른 [eqn: 3]개의 주사위 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]를 던져서 나온 수를 각각 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y], [eqn: Z]라 하자. [eqn: {RMV}(X)+{RMV}(Y)+{RMV}(Z)]의 값은? (단, 주사위 [eqn: A]의 눈은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], 주사위 [eqn: B]의 눈은 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12], 주사위 [eqn: C]의 눈은 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]이다.) [3.8점]

③

① [eqn: 33OVER2]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 35OVER2]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 37OVER2]

어느 학교 학생들을 대상으로 실시한 확률과 통계 시험 점수는 평균이 [eqn: 65]점이고 표준편차가 [eqn: 8]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이때, 상위 [eqn: 11%] 이내에 속하는 학생의 최저 점수는? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: {RMP}(0 LE Z LE 1.23)=0.39]로 계산한다.) [3.8점]

②

① [eqn: 74.22]	② [eqn: 74.84]	③ [eqn: 75.44]

④ [eqn: 76.07]	⑤ [eqn: 76.69]

[eqn: rmU]고등학교 학생 중 토요자율학습을 신청한 학생들의 비율 [eqn: p]를 조사하기 위해 [eqn: RMU]고등학교 학생 [eqn: 400]명을 임의추출하여 토요자율학습을 신청한 학생들의 비율 [eqn: hat { p}]를 구하였다. 표본비율 [eqn: HATp]을 이용하여 구한 모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: 0.0613 LE p LE 0.1387]일 때, 임의추출한 [eqn: RMU]고등학교 학생 [eqn: 400]명 중에서 토요자율학습을 신청한 학생 수는? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {RMP}(0 LE Z LE 2.58)=0.495]로 계산한다.) [4.0점]

①

① [eqn: 40]	② [eqn: 42]	③ [eqn: 44]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 48]

어느 농장에서 사육하는 토끼 한 마리의 체중은 표준편차가 [eqn: 1OVER14 RMkg]인 정규분포를 따른다. 이 농장의 토끼 한 마리의 평균 체중 [eqn: m RMkg]를 신뢰도 [eqn: 95%]로 추정하기 위해 [eqn: n]마리의 토끼를 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: BARX]라 할 때, [eqn: |BARX -m|]가 [eqn: 0.01 RMkg] 이하가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은? (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {RMP}(0 LE Z LE 1.96)=0.475]로 계산한다.) [4.1점]

④

① [eqn: 100]	② [eqn: 140]	③ [eqn: 195]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 392]

한 개의 주사위를 던져 [eqn: 6]의 약수가 나오면 [eqn: 3]점을 얻고, [eqn: 6]의 약수가 나오지 않으면 [eqn: 1]점을 얻는 시행을 [eqn: n]회 반복한다. [eqn: n]회의 시행 후 얻는 점수의 합이 기댓값이 [eqn: 168]점일 때, [eqn: n]회의 시행 후 얻는 점수의 합이 [eqn: 180]점 이상일 확률을 아래 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: n]은 충분히 크다.) [4.3점]

②

[eqn: z]	[eqn: {rmP}( 0 le Z le z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.19]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]

① [eqn: 0.02]	② [eqn: 0.07]	③ [eqn: 0.16]

④ [eqn: 0.26]	⑤ [eqn: 0.34]

어떤 연못에 있는 물고기 전체 [eqn: 1000]마리 중에서 [eqn: x]마리의 물고기를 잡아 표시를 하고 풀어주었다고 하자. 이 연못에서 다시 물고기 [eqn: 100]마리를 임의추출하였더니 표시가 된 물고기는 [eqn: 50]마리였다. 이 연못에 있는 표시된 물고기 [eqn: x]마리에 대하여 신뢰도 [eqn: 95%]으로 추정한 구간은? (단, 임의추출한 표본의 크기 [eqn: 100]은 충분히 크며, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때,
[eqn: {RMP}(0LE Z LE1.96)=0.475]로 계산한다.) [4.5점]

③

① [eqn: 475LE x LE 525]	② [eqn: 405LE X LE595]	③ [eqn: 402 LE x LE 598]

④ [eqn: 392LE x LE608]	⑤ [eqn: 304LE x LE696]

두 사람 [eqn: rmA], [eqn: RMB]가 게임을 하여 계단을 이동하기로 하였다. 게임에서 비기는 경우는 없고, 각 게임마다 [eqn: RMA]가 [eqn: RMB]를 이길 확률은 [eqn: 3OVER5]이다. 게임에서 이긴 사람은 두 칸을 올라가고, 진 사람은 한 칸만 올라갈 때, [eqn: RMA]가 [eqn: n]번째 계단에 위치할 확률을 [eqn: p_n]라 하면 [eqn: p_1 =a], [eqn: p_2 =b], [eqn: p_n+2 =cp_n+1 +dp_n]이 성립한다. 네 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]에 대하여 [eqn: a+b+c+d]의 값은? [4.5점]

④

① [eqn: 51over25]	② [eqn: 52over25]	③ [eqn: 53over25]

④ [eqn: 54over25]	⑤ [eqn: 11over5]

서술형

좌표평면 위에 점 [eqn: RMP(0,```0)]이 있다. 각 면마다 [eqn: RMA], [eqn: RMB], [eqn: RMB], [eqn: rmC], [eqn: RMC], [eqn: RMC]이 각각 하나씩 적힌 정육면체 모양의 주사위를 던져서 점 [eqn: RMP]를 [eqn: RMA]의 눈이 나오면 오른쪽으로 [eqn: 1]만큼 움직이고, [eqn: RMB]의 눈이 나오면 왼쪽으로 [eqn: 1]만큼 움직이며, [eqn: RMC]의 눈이 나오면 위쪽으로 [eqn: 1]만큼 움직인다. 위 주사위를 [eqn: 5]번 던졌을 때, 점 [eqn: RMP]의 좌표가
[eqn: (-2,```1)]일 확률을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 5over81]

확률변수 [eqn: X]의 확률질량함수가
[eqn: {RMP}(X=x)={}_36 {rmC}_x left( 1over6 right)^x left( 5over6 right)^36-x](단, [eqn: x=0,```1,```2,```cdots,```36)]
일 때, [eqn: sum_x=0 ^36 (x-2)^2 {RMP}(X=x)]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 21]

수학 검정 시험 점수가 평균이 [eqn: 70]점이고 표준편차가 [eqn: 4]점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 시험에서 [eqn: 78]점 이상을 받으면 합격한다. 응시한 사람 중에서 임의로 [eqn: 10000]명을 선택하였을 때, 선택한 사람 중에서 합격한 응시자의 수가 [eqn: 193]명이 이상일 확률을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {RMP}(0le Z le 0.5)=0.19],
[eqn: {RMP}(0le Z le2)=0.48]로 계산한다.) [12.0점]

[eqn: 0.69]

정규분포 [eqn: {RMN}(m,```5^2 )]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 신뢰도 [eqn: x%]로 추정한 모평균의 [eqn: m]의 신뢰구간이 [eqn: alpha le m le beta]일 때, [eqn: f(x)=beta-alpha]라고 하자. 상수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f(x_1 )=2], [eqn: f(x_2 )=5]일 때, 아래 표준정규분포표를 이용하여 [eqn: x_2 -x_1]의 값을 구하고, 그 풀이과정을 서술하시오. [10.0점]

[eqn: 30.5]

[eqn: z]	[eqn: {rmP}( 0 le Z le z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

[2016년 운정고]

[2학년 1학기 기말 확률과 통계]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com